जड़ों के साथ समीकरणों को कैसे हल करें

कभी-कभी समीकरणों में जड़ का संकेत होता है। यह कई छात्रों को लगता है कि इस तरह के समीकरणों को "जड़ों के साथ" या, अधिक सही ढंग से, तर्कहीन समीकरणों को हल करना बहुत मुश्किल है, लेकिन ऐसा नहीं है।

निर्देश मैनुअल

1

अन्य प्रकार के समीकरणों के विपरीत, उदाहरण के लिए, समीकरणों के द्विघात या रैखिक सिस्टम, जड़ों के साथ समीकरणों को हल करने के लिए कोई मानक एल्गोरिथ्म नहीं है, या अधिक सटीक, तर्कहीन समीकरण हैं। प्रत्येक विशेष मामले में, "उपस्थिति" और समीकरण की विशेषताओं के आधार पर सबसे उपयुक्त समाधान विधि का चयन करना आवश्यक है।

समीकरण के कुछ हिस्सों को एक ही डिग्री तक उठाना।

बहुधा, समीकरणों को जड़ों (अपरिमेय समीकरणों) से हल करने के लिए, समीकरण के दोनों पक्षों को समान डिग्री तक उठाने का उपयोग किया जाता है। एक नियम के रूप में, जड़ की डिग्री के बराबर डिग्री (वर्गमूल के लिए चुकता, घनमूल के लिए घन)। यह ध्यान में रखा जाना चाहिए कि समीकरण के बाएं और दाएं पक्षों को एक समान डिग्री तक बढ़ाते समय, उसके पास "अतिरिक्त" जड़ें हो सकती हैं। इसलिए, इस मामले में, किसी को समीकरण में प्रतिस्थापित करके प्राप्त जड़ों की जांच करनी चाहिए। वर्ग (सम) के साथ समीकरणों को हल करने में विशेष ध्यान चर (ODZ) के स्वीकार्य मूल्यों की सीमा को दिया जाना चाहिए। कभी-कभी, अकेले ओडीएल का अनुमान हल करने या समीकरण को सरल बनाने के लिए पर्याप्त है।

एक उदाहरण है। समीकरण को हल करें:

-(5x-16) = x-2

हम समीकरण के दोनों किनारों को वर्ग:

(² (5x-16)) x = (x-2) x, जिसे हम क्रमिक रूप से प्राप्त करते हैं:

5x-16 = x²-4x + 4

h-4x + 4-5x + 16 = 0

h-9x + 20 = 0

प्राप्त द्विघात समीकरण को हल करते हुए, हम इसकी जड़ें पाते हैं:

x = (9 ± ± (81-4 ​​* 1 * 20)) / (2 * 1)

x = (9) 1) / 2

एक्स 1 = 4, एक्स 2 = 5

मूल समीकरण में दोनों पाया जड़ों को प्रतिस्थापित करते हुए, हम सही समानता प्राप्त करते हैं। इसलिए, दोनों संख्याएं समीकरण के समाधान हैं।

2

एक नया चर शुरू करने के लिए विधि।

कभी-कभी नए चर पेश करके "जड़ों के साथ समीकरण" (एक अपरिमेय समीकरण) की जड़ों को खोजना अधिक सुविधाजनक होता है। वास्तव में, इस विधि का सार केवल समाधान के अधिक कॉम्पैक्ट रिकॉर्ड के लिए कम हो जाता है, अर्थात। हर बार भारी अभिव्यक्ति लिखने के बजाय, यह एक किंवदंती द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है।

एक उदाहरण है। समीकरण को हल करें: 2x + -x-3 = 0

आप इस समीकरण को दोनों पक्षों को जोड़कर हल कर सकते हैं। हालांकि, गणना खुद बोझिल दिखेगी। एक नए चर की शुरूआत के साथ, निर्णय प्रक्रिया बहुत अधिक सुरुचिपूर्ण हो जाएगी:

हम एक नया चर पेश करते हैं: y =: x

तब हमें साधारण द्विघात समीकरण मिलता है:

2y 2 + y-3 = 0, चर y के साथ।

परिणामी समीकरण को हल करते हुए, हम दो जड़ों को खोजते हैं:

y1 = 1 और y2 = -3 / 2, नए चर (y) के लिए अभिव्यक्ति में मिली जड़ों को प्रतिस्थापित करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

√ x = 1 और √ x = -3 / 2।

चूँकि वर्गाकार मूल मान ऋणात्मक संख्या नहीं हो सकती (यदि आप जटिल संख्याओं के क्षेत्र को नहीं छूते हैं), तो हमें एकमात्र समाधान मिलता है:

x = 1।

वर्गमूल समाधान