वैक्टर पर निर्मित एक समांतर चतुर्भुज के क्षेत्र की गणना कैसे करें

किसी भी दो नॉनकोलिनर और नॉनजरो वैक्टर पर, एक समांतर चतुर्भुज का निर्माण किया जा सकता है। यदि आप एक बिंदु पर उनके मूल को जोड़ते हैं तो ये दो वैक्टर एक समांतर चतुर्भुज अनुबंधित करेंगे। आकृति के पक्षों को समाप्त करें।

निर्देश मैनुअल

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वैक्टर की लंबाई ज्ञात करें यदि उनके निर्देशांक दिए गए हैं। उदाहरण के लिए, वेक्टर A में विमान में निर्देशांक (a1, a2) है। फिर वेक्टर A की लंबाई | A | = a (a1 a + a2।) है। इसी तरह, हम वेक्टर बी के मॉड्यूल का पता लगाते हैं: B | = = b (b1, + b2²), जहां b1 और b2 विमान पर वेक्टर B के निर्देशांक हैं।

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समांतर चतुर्भुज क्षेत्र S = | A | • | B | • पाप (A ^ B) द्वारा पाया जाता है, जहां A ^ B दिए गए वैक्टर A और B के बीच का कोण है। साइन को कोसोनियम के माध्यम से मूलभूत समरूपता पहचान का उपयोग करके पाया जा सकता है: sin²α + cos²α = 1। निर्देशांक में लिखे गए वैक्टर के स्केलर उत्पाद के संदर्भ में कोसाइन को व्यक्त किया जा सकता है।

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वेक्टर बी द्वारा एक वेक्टर के स्केलर उत्पाद को (ए, बी) द्वारा निरूपित किया जाता है। परिभाषा के अनुसार, यह (A, B) = | A | • | B | • cos (A ^ B) के बराबर है। और निर्देशांक में, अदिश उत्पाद इस तरह लिखा जाता है: (ए, बी) = ए 1 • बी 1 + ए 2 • बी 2। यहाँ से हम वैक्टर के बीच के कोण के कोसाइन को व्यक्त कर सकते हैं: cos (A ^ B) = (A, B / / | A | • | B | = = a1 • b1 + a2 • b2) / √ (a1 + +2²) • √ (a2² +) | b2²)। अंश में, अदिश उत्पाद; हर में, वैक्टर की लंबाई।

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अब हम साइन को मुख्य त्रिकोणमितीय पहचान से व्यक्त कर सकते हैं: sin =α = 1-cos expressα, sinα = 1 s (1-cos²α)। यदि हम मानते हैं कि वैक्टर के बीच कोण α तेज है, तो साइन के साथ माइनस को खारिज किया जा सकता है, केवल प्लस चिन्ह को छोड़कर, चूंकि तीव्र कोण की साइन केवल सकारात्मक हो सकती है (या शून्य कोण पर शून्य, लेकिन यहां कोण गैर-शून्य है, यह इस स्थिति में प्रदर्शित होता है। वैक्टर की नॉनकॉलिनैरिटी)।

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अब हमें साइन सूत्र में कोसाइन के लिए समन्वय अभिव्यक्ति को प्रतिस्थापित करने की आवश्यकता है। इसके बाद, यह केवल समानांतर चतुर्भुज क्षेत्र सूत्र में परिणाम लिखने के लिए रहता है। यदि यह सब किया जाता है और संख्यात्मक अभिव्यक्ति को सरल किया जाता है, तो यह पता चलता है कि S = a1 • b2-a2 • 1। इस प्रकार, वैक्टर A (a1, a2) और B (b1, b2) पर निर्मित समानांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल सूत्र S = a1 • b2-a2 • b1 के सूत्र से पाया जाता है।

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परिणामस्वरूप अभिव्यक्ति वैक्टर ए और बी: ए 1 ए 2 बी 1 बी 2 के निर्देशांक से बना मैट्रिक्स का निर्धारक है।

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दरअसल, आयाम दो के एक मैट्रिक्स के एक निर्धारक प्राप्त करने के लिए, हमें मुख्य विकर्ण (ए 1, बी 2) के तत्वों को गुणा करना होगा और इससे साइड विकर्ण (ए 2, बी 1) के तत्वों के उत्पाद को घटाना होगा।