समीकरणों की प्रणालियों को कैसे हल करें

रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए मूल तरीकों का उपयोग करके समीकरणों की प्रणाली को हल करना मुश्किल नहीं है: प्रतिस्थापन विधि और इसके अलावा विधि।

निर्देश मैनुअल

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आइए दो अज्ञात समीकरण वाले दो रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली के उदाहरण का उपयोग करके समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने के तरीकों पर विचार करें। सामान्य तौर पर, इस तरह की प्रणाली निम्नानुसार लिखी जाती है (बाईं ओर, समीकरण एक घुंघराले ब्रैकेट के साथ संयुक्त होते हैं):

कुल्हाड़ी + बी = सी

dx + eye = f, जहां

ए, बी, सी, डी, ई, एफ गुणांक (विशिष्ट संख्या) हैं, और x और y, हमेशा की तरह, अज्ञात हैं। संख्या a, b, c, d को अज्ञात के लिए गुणांक कहा जाता है, और c और f को मुक्त पद कहा जाता है। समीकरणों की ऐसी प्रणाली का समाधान दो मुख्य तरीकों से पाया जाता है।

प्रतिस्थापन विधि द्वारा समीकरणों की प्रणाली का समाधान।

1. हम पहला समीकरण लेते हैं और अज्ञात में से किसी एक (x) को गुणांक और दूसरे अज्ञात (y) के रूप में व्यक्त करते हैं:

x = (s-by) / a

2. एक्स के लिए प्राप्त अभिव्यक्ति को दूसरे समीकरण में रखें:

डी (सी-बाय) / ए + आई = एफ

3. परिणामी समीकरण को हल करते हुए, हम y के लिए व्यंजक ज्ञात करते हैं:

y = (af-cd) / (ae-bd)

4. एक्स के लिए अभिव्यक्ति में y के लिए परिणामी अभिव्यक्ति को प्रतिस्थापित करें:

x = (सी-बीएफ) / (एई-बीडी)

उदाहरण: आपको समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने की आवश्यकता है:

3x-2y = 4

x + 3y = 5

पहले समीकरण से x का मान ज्ञात करें:

x = (2y + 4) / 3

दूसरे समीकरण में परिणामी अभिव्यक्ति को प्रतिस्थापित करें और एक चर (y) के साथ एक समीकरण प्राप्त करें:

(2y + 4) / 3 + 3y = 5, जो हमें मिलता है:

य = १

अब हम चर x के लिए अभिव्यक्ति में y का पाया गया मान प्रतिस्थापित करते हैं:

x = (2 * 1 + 4) / 3 = 2

उत्तर: x = 2, y = 1।

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जोड़ (घटाव) की विधि द्वारा समीकरणों की प्रणाली का समाधान।

यह विधि समीकरणों के दोनों पक्षों को संख्याओं (मापदंडों) से गुणा करने के लिए कम करती है, जैसे कि, परिणामस्वरूप, चर में से एक का गुणांक (संभवतः विपरीत संकेत के साथ)।

सामान्य स्थिति में, पहले समीकरण के दोनों पक्षों को (-d) से गुणा किया जाना चाहिए, और दूसरे समीकरण के दोनों पक्षों द्वारा a। नतीजतन, हम प्राप्त करते हैं:

-xx-bdу = -cd

adx + aey = af

परिणामी समीकरणों को जोड़ते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

-बदु + aeu = -cd + af, जहाँ हमें चर y के लिए अभिव्यक्ति मिलती है:

y = (af-cd) / (ae-bd), सिस्टम के किसी भी समीकरण में y के लिए अभिव्यक्ति का प्रतिस्थापन, हम प्राप्त करते हैं:

ax + b (af-cd) / (ae-bd) = c?

इस समीकरण से हम दूसरा अज्ञात पाते हैं:

x = (सी-बीएफ) / (एई-बीडी)

एक उदाहरण है। जोड़कर या घटाकर समीकरणों की प्रणाली को हल करें:

3x-2y = 4

x + 3y = 5

पहले समीकरण को (-1) से और दूसरे को 3 से गुणा करें:

-3x + 2y = -4

3x + 9y = 15

दोनों समीकरणों को जोड़कर (अवधि के अनुसार), हम प्राप्त करते हैं:

11y = 11

हमें कहाँ मिलेगा:

य = १

हम किसी भी समीकरण में y के लिए प्राप्त मूल्य को प्रतिस्थापित करते हैं, उदाहरण के लिए, दूसरे में, हमें मिलता है:

3x + 9 = 15, जहाँ

x = 2

उत्तर: x = 2, y = 1।